Théorie de la fonction géométrique dans les applications de la vie réelle

Pr. Dr. Abdulrahman Salman Jumaa Al-Hadithi - Mathématiques

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Théorie de la fonction géométrique

 La théorie de la fonction géométrique est une branche de l'analyse complexe qui traite des propriétés géométriques des fonctions analytiques. La célèbre théorie de Riemann sur le dessin de cartes concernant le remplacement d'un domaine arbitraire (la fonction analytique) par un disque unité ouvert est la pierre angulaire de la théorie de la fonction géométrique.  Par la suite, Koebe en 1907 et Bieberbach en 1916 ont étudié les fonctions analytiques univalentes qui définissent E sur le domaine avec certaines propriétés géométriques remarquables. Ces fonctions et leurs généralisations jouent un rôle clé dans les applications, telles que ; le traitement d'images et le traitement du signal. Les fonctions à rotation limitée, c'est-à-dire les fonctions dont les dérivées ont une partie réelle positive et leurs généralisations, sont très liées à différentes classes de fonctions analytiques univalentes. Ces chapitres ont été examinés par de nombreux mathématiciens tels que Nöcher et Warschawski en 1935, Schiessl en 1917, Goodman (1983) et Nour (2009).

Quelques applications de la théorie de la fonction géométrique

1- Les résultats de la théorie de la fonction géométrique sont utilisés dans de nombreux domaines des mathématiques appliquées, de la physique mathématique à l'informatique. 2-Cependant, les travaux antérieurs sur ce sujet ont déjà trouvé des applications, parfois inattendues, telles que ; la théorie du contrôle, les sciences des matériaux, l'informatique, le traitement du signal, la physique mathématique, l'astrophysique et la programmation de jeux vidéo.

 Théorie de la fonction géométrique pour la représentation d'image

1- Actuellement, à l'ère numérique, les problèmes d'analyse et de gestion des informations dans les données massives, dont beaucoup sont. 2- Visuels, rendent la question de la représentation des images plus efficace. 3- Les représentations d'images sont importantes tant pour le traitement computationnel des données d'image que pour les transformations intermédiaires et l'extraction de caractéristiques, ainsi que pour des tâches cognitives de haut niveau telles que la construction de descriptions symboliques et la compréhension finale des images.

Échantillons d'images

Modélisation  et quantification

 Qu'est-ce qu'une image ?

Nous pouvons penser à l'image comme à une fonction, de R2 à R : fournissant f (x, y) la densité au point (x, y) En réalité, nous nous attendons à ce que l'image soit définie uniquement sur un rectangle, avec une portée limitée : f : [a, b] x [c, d] à [0,1] L'image couleur est simplement trois fonctions collées ensemble. Nous pouvons écrire cela comme une fonction à valeur vectorielle.

Les images comme fonctions

Qu'est-ce qu'une image numérique ?

Nous travaillons généralement avec des images numériques (discrètes) :

1- Prendre un échantillon de l'espace bidimensionnel sur une grille régulière. 2- Déterminer la quantité de chaque échantillon (arrondi au nombre entier le plus proche)  Si nos échantillons sont séparés les uns des autres, nous pouvons écrire cela comme suit : f [i, j] = Quantize {f (i D, j D)} l'image peut maintenant être représentée comme une matrice de valeurs entières.

Traitement d'image

1- Le processus de traitement d'images est généralement défini comme une nouvelle image g en termes d'une image existante f.

2- Nous pouvons transformer soit l'étendue f. soit le domaine f :

Quels types d'opérations chacune peut-elle effectuer ?

Images - capture et traitement

Capturer des images du monde réel

Image - Une image bidimensionnelle capturée d'une scène du monde réel représentant un événement temporel du monde spatial tridimensionnel.

Concepts d'image

  L'image est une fonction des valeurs d'intensité sur un plan bidimensionnel I (r, s) -1  fonction d'échantillon sur des intervalles discrets pour représenter une image sous forme numérique - matrice de valeurs de densité pour chaque niveau de couleur - la densité est généralement représentée par 8 bits 3- Les points d'échantillon sont appelés pixels.

 Images numériques

1- Les échantillons = unités de pixels.  2- Pour quantifier = nombre de bits par pixel.  Exemple : Si nous prenons un échantillon d'une image de télévision standard (525 lignes) et la mesurons en utilisant VGA (matrice de graphiques vidéo), le contrôleur vidéo crée une matrice de 640 × 480 pixels, et chaque pixel est représenté par un entier de 8 bits (256 niveaux de gris distincts)

Application pour l'analyse de texture

1- La tâche d'importance particulière en vision artificielle est la caractérisation ou la description des textures. Le problème ici est de trouver des caractéristiques intéressantes pour décrire une texture particulière. En d'autres termes, si nous pouvons calculer une bonne description des caractéristiques, nous pouvons mieux décrire une texture. 2-Commence par examiner l'utilisation de la représentation univalente pour la caractérisation locale d'un objet décoratif photographié.