Le concept de l'infini en mathématiques et dans d'autres sciences

Dr. M.  Qassim Hussein Alawi Al-Rawi - Département de Mathématiques

qassaim.h@uoanbar.edu.iq

 Page officielle de l'auteur

Nous entendons souvent parler du concept d'infini et il est souvent utilisé en mathématiques et en statistiques, mais que signifie ce concept ?    Le concept d'infini est l'un des concepts fondamentaux et importants sur lesquels reposent les mathématiques et la physique. C'est un concept qui a intrigué les scientifiques et les philosophes depuis l'Antiquité. Les savants indiens et grecs considéraient le concept d'infini comme un concept purement philosophique, et peu d'entre eux le considéraient comme un concept mathématique. Le savant Aristote a rejeté l'idée de l'infini, tandis que le savant Archimède l'a acceptée et la considère comme une quantité indéfinie de nombres continus.     Le philosophe grec Zénon (Zeno) l'a exprimé par l'exemple suivant : si une balle est lancée d'une distance d'un mètre au-dessus du sol, cette balle parcourra la moitié de la distance en un certain temps et un quart de la distance en un autre temps, et ainsi de suite, elle parcourra un huitième de la distance en un autre temps ......... Par conséquent, en continuant, nous atteindrons l'infini de parties que la balle parcourra à des moments différents, mais si nous additionnons ces parties, elles équivaudront à un :

1    1  1  1  1  1  1

-  + -  +  -  +  -  +   -   +  -  +   - + ..................................... = 1 .

2  4  8  16  32  64  128

 Enfin, les scientifiques ont conclu que l'infini peut être exprimé comme une idée ou un concept qui représente quelque chose qui n'a pas de limites ou de fin, comme les nombres naturels (0, 1, 2, 3, 4, .....................) qui continuent jusqu'à ∞ ,   et certains ont compris que l'infini est le plus grand nombre possible, mais en réalité, c'est une mauvaise compréhension car cela peut être le plus petit possible, comme les nombres entiers négatifs (  -1, -2, -3  , -4, .....................) qui continuent jusqu'à ∞-  .

 Propriétés de l'infini (∞ ) :

1-  Linfini peut être quelque chose de fini en grandeur ou de fini en petitesse . 2- L'infini n'est pas nécessairement un nombre, mais c'est un concept . 3-  Certains infinis diffèrent les uns des autres . 4-   Il est possible d'appliquer des opérations algébriques dessus, par exemple  :

  On peut se demander comment nous additionnons l'infini que nous exprimons par un concept ou quelque chose avec le nombre 1, mais cela signifie que dans le cas où il y a un infini d'objets et que nous ajoutons quelque chose, le résultat sera également un infini car il est indéfini.     En algèbre, l'infini est entré dans les ensembles numériques  où tous les ensembles numériques (naturels, entiers, rationnels, irrationnels, réels) sont des ensembles infinis de nombres. Et en géométrie, nous remarquons qu'une ligne droite est composée d'un infini de points, peu importe sa petitesse, et un plan est composé d'un infini de droites, et un espace est constitué d'un infini de plans. L'infini joue un rôle essentiel dans les concepts de suites, de séries, de limites et de continuité, ainsi que dans le concept d'intégration qui représente l'agrégation d'un nombre infini de petites surfaces.   Pour approfondir le concept d'infini, nous présentons une histoire de science-fiction : supposons qu'il y ait un hôtel avec un infini de chambres et que chaque chambre soit occupée par un seul client, c'est-à-dire que l'hôtel accueille un infini de clients. La question ici est : est-il possible d'accueillir dix autres clients à l'hôtel tout en gardant chaque client dans une chambre indépendante ?  À première vue, on dirait que l'hôtel n'a pas de place (capacité) et qu'il est impossible d'accueillir un autre client. Cependant, en réalité, il est possible d'accueillir ces dix clients de la manière suivante : le propriétaire de l'hôtel informera les clients des dix premières chambres de se déplacer vers les dix secondes chambres, et les clients des dix secondes chambres de se déplacer vers les dix troisièmes chambres, et ainsi de suite ........., où les dix premières chambres ont été libérées pour accueillir les nouveaux invités. Cela est possible car l'hôtel a un infini de chambres, qui ne doit pas nécessairement être égal à l'infini de clients.   De la même manière, il est possible d'accueillir cent, mille, un million ou ............... , un infini de nouveaux clients. Enfin, nous pouvons conclure que l'infini est quelque chose qui n'a pas de limites spécifiques et qu'il n'y a pas d'infini qui ressemble à un autre infini. Certains scientifiques ont mentionné que l'ensemble des nombres réels compris dans l'intervalle (  0, 1 ) est composé d'un infini de nombres, qui peut être plus que l'ensemble de tous les nombres naturels. Le concept d'infini a été donné son sens et sa réalité uniquement dans le Saint Coran, où le mot éternité a été utilisé pour les gens après le Jour du Jugement et la vie dans la barzakh, et cette description est la définition la plus précise du concept d'infini. De même, le Prophète Muhammad, paix et bénédictions sur lui, l'a décrit lorsqu'un homme lui a demandé quelle action le ferait entrer au paradis, et il a répondu (Dis : J'ai cru en Allah, puis reste ferme). Il est bien connu que la ligne droite est composée d'un infini de points, peu importe sa longueur, ce qui signifie que la religion n'a pas de limites ni de fin, ce qui indique qu'elle n'est pas de l'ordre des humains. Comme nous l'avons mentionné précédemment dans le dernier verset révélé du Coran ((Aujourd'hui, j'ai complété votre religion et j'ai achevé ma grâce sur vous et j'ai agréé l'islam comme religion pour vous)), ce qui signifie que la religion islamique s'étend sans limites et est valable pour toutes les époques, et la grâce d'Allah est innombrable.   Il est rapporté dans le hadith noble (La durée de vie de ma communauté est entre soixante et soixante-dix ans) donc si votre âge représente le numérateur et le dénominateur représente votre durée de vie dans l'au-delà, alors si votre âge est de soixante ou soixante-dix ans, quelle est sa proportion par rapport à votre durée de vie dans l'au-delà, qui est un infini d'années ? Que vaut votre âge dans cette vie terrestre ?????????  Il ne fait aucun doute qu'il ne vaut rien, et c'est ce que le Messager d'Allah, paix et bénédictions sur lui, a indiqué dans son hadith en décrivant la vie terrestre (Je ne suis qu'un cavalier qui s'est abrité sous un arbre, puis s'est levé et l'a quitté). D'ici, il est clair que la durée de vie de l'homme est son capital dans cette vie, alors ne la gaspillez pas.